int power(int n, int k) {      int         ans = 1;      while( k ) {          if(k & 1) {              ans *= n;          }          k >>= 1;          n *= n;      }      return ans;  }

下面是 m^n  % k 的快速幂：

int quickpow(int m,int n,int k){    int b = 1;    while (n > 0)    {          if (n & 1)             b = (b*m)%k;          n = n >> 1 ;          m = (m*m)%k;    }    return b;}

下面是矩阵快速幂：

//HOJ 3493/*===================================*/|| 快速幂（quickpow）模板 || P 为等比，I 为单位矩阵|| MAX 要初始化！！！！||/*===================================*//*****************************************************/#include 
      
       const int MAX = 3;typedef  struct{        int  m[MAX][MAX];}  Matrix;Matrix P = {
    5,-7,4,            1,0,0,            0,1,0,           };Matrix I = {
    1,0,0,            0,1,0,            0,0,1,           };           Matrix matrixmul(Matrix a,Matrix b) //矩阵乘法{       int i,j,k;       Matrix c;       for (i = 0 ; i < MAX; i++)           for (j = 0; j < MAX;j++)             {                 c.m[i][j] = 0;                 for (k = 0; k < MAX; k++)                     c.m[i][j] += (a.m[i][k] * b.m[k][j])%9997;                 c.m[i][j] %= 9997;             }       return c;}          Matrix quickpow(long long n){       Matrix m = P, b = I;       while (n >= 1)       {             if (n & 1)                b = matrixmul(b,m);             n = n >> 1;             m = matrixmul(m,m);       }       return b;}               /*************************************/int main(){    Matrix re;    int f[3] = {
    2,6,19};    long long n;    while (scanf("%I64d",&n) && n != 0)    {          if (n == 1)             printf("1\n");          else if (n <= 4)                  printf("%d\n",f[n-2]);               else {                      re = quickpow(n - 4);                      printf("%d\n",(((re.m[0][0]*f[2])                              + (re.m[0][1]*f[1]) + (re.m[0][2]*f[0])) %9997 + 9997) % 9997);                      }    }    return 0;}
      

//计算a^bmodn     int modexp_recursion(int a,int b,int n)     {        int t = 1;    if (b == 0)        return 1;    if (b == 1)         return a%n;    t = modexp_recursion(a, b>>1, n);    t = t*t % n;    if (b&0x1)    {            t = t*a % n;    }    return t; }

#include 
      
          using namespace std;     //计算a^bmodn   int modexp(int a,int b,int n)   {       int ret=1;       int tmp=a;       while(b)       {          //基数存在          if(b&0x1) ret=ret*tmp%n;          tmp=tmp*tmp%n;          b>>=1;       }       return ret;   }     int main()   {       cout<
       
        <
       
      

矩阵快速幂

转自

矩阵的快速幂是用来高效地计算矩阵的高次方的。将朴素的o（n）的时间复杂度，降到log（n）。

这里先对原理（主要运用了矩阵乘法的结合律）做下简单形象的介绍：

一般一个矩阵的n次方，我们会通过连乘n-1次来得到它的n次幂。

但做下简单的改进就能减少连乘的次数，方法如下：

把n个矩阵进行两两分组，比如：A*A*A*A*A*A  =>  (A*A)*(A*A)*(A*A)

这样变的好处是，你只需要计算一次A*A，然后将结果(A*A)连乘自己两次就能得到A^6，即(A*A)^3=A^6。算一下发现这次一共乘了3次，少于原来的5次。

其实大家还可以取A^3作为一个基本单位。原理都一样：利用矩阵乘法的结合律，来减少重复计算的次数。

以上都是取一个具体的数来作为最小单位的长度，这样做虽然能够改进效率，但缺陷也是很明显的，取个极限的例子（可能有点不恰当，但基本能说明问题），当n无穷大的时候，你现在所取的长度其实和1没什么区别。所以就需要我们找到一种与n增长速度”相适应“的”单位长度“，那这个长度到底怎么去取呢？？？这点是我们要思考的问题。

有了以上的知识，我们现在再来看看，到底怎么迅速地求得矩阵的N次幂。

既然要减少重复计算，那么就要充分利用现有的计算结果咯！~怎么充分利用计算结果呢？？？这里考虑二分的思想。。

大家首先要认识到这一点：任何一个整数N，都能用二进制来表示。。这点大家都应该知道，但其中的内涵真的很深很深（这点笔者感触很深，在文章的最后，我将谈谈我对的感想）！！

计算机处理的是离散的信息，都是以0,1来作为信号的处理的。可想而知二进制在计算机上起着举足轻重的地位。它能将模拟信号转化成数字信号，将原来连续的实际模型，用一个离散的算法模型来解决。  好了，扯得有点多了，不过相信这写对下面的讲解还是有用的。

回头看看矩阵的快速幂问题，我们是不是也能把它离散化呢？比如A^19  =>  （A^16）*（A^2）*（A^1），显然采取这样的方式计算时因子数将是log(n)级别的(原来的因子数是n)，不仅这样，因子间也是存在某种联系的，比如A^4能通过(A^2)*(A^2)得到，A^8又能通过(A^4)*(A^4)得到，这点也充分利用了现有的结果作为有利条件。下面举个例子进行说明：

现在要求A^156,而156(10)=10011100(2) 

也就有A^156=>(A^4)*(A^8)*(A^16)*(A^128)  考虑到因子间的联系，我们从二进制10011100中的最右端开始计算到最左端。细节就说到这，下面给核心代码：

while(N) {                if(N&1)                       res=res*A;                n>>=1;                A=A*A; }

里面的乘号，是矩阵乘的运算，res是结果矩阵。

第3行代码每进行一次，二进制数就少了最后面的一个1。二进制数有多少个1就第3行代码就执行多少次。

好吧，矩阵快速幂的讲解就到这里吧。在文章我最后给出我实现快速幂的具体代码（代码以3*3的矩阵为例）。

现在我就说下我对二进制的感想吧：

我们在做很多”连续“的问题的时候都会用到二进制将他们离散简化

1.多重背包问题

2.树状数组

3.状态压缩DP

……………还有很多。。。究其根本还是那句话：化连续为离散。。很多时候我们并不是为了解决一个问题而使用二进制，更多是时候是为了优化而使用它。所以如果你想让你的程序更加能适应大数据的情况，那么学习学习二进制及其算法思想将会对你有很大帮助。

最后贴出一些代码供大家学习，主要起演示的效果：

#include 
      
       #include 
       
        #include 
        
         #include 
         
           using namespace std;int N;struct matrix{       int a[3][3];}origin,res;matrix multiply(matrix x,matrix y){       matrix temp;       memset(temp.a,0,sizeof(temp.a));       for(int i=0;i<3;i++)       {               for(int j=0;j<3;j++)               {                       for(int k=0;k<3;k++)                       {                               temp.a[i][j]+=x.a[i][k]*y.a[k][j];                       }               }       }       return temp;}void init(){     printf("随机数组如下:\n");     for(int i=0;i<3;i++)     {             for(int j=0;j<3;j++)             {                     origin.a[i][j]=rand()%10;                     printf("%8d",origin.a[i][j]);             }             printf("\n");     }     printf("\n");     memset(res.a,0,sizeof(res.a));     res.a[0][0]=res.a[1][1]=res.a[2][2]=1;                  //将res.a初始化为单位矩阵 }void calc(int n){     while(n)     {             if(n&1)                    res=multiply(res,origin);             n>>=1;             origin=multiply(origin,origin);     }     printf("%d次幂结果如下：\n",n);     for(int i=0;i<3;i++)     {             for(int j=0;j<3;j++)                     printf("%8d",res.a[i][j]);             printf("\n");     }     printf("\n");}int main(){    while(cin>>N)    {            init();            calc(N);    }    return 0;}
         
        
       
      

 

//HDU 4965 #include
      
       using namespace std;const int maxn = 1010;const int maxd = 6;#define FOR(i,n) for(int i = 0; i < n; i++)struct Mat{    int mat[maxd][maxd];//注意这里maxd不能开太大，请将矩阵优化成此规模限制内 };int N,K;int mat_a[maxn][maxd],mat_b[maxd][maxn];int ret_a[maxn][maxn],ret_b[maxn][maxn];Mat operator *(Mat x,Mat y){
    //重载矩阵乘法     Mat c;    FOR(i,K) FOR(j,K){        c.mat[i][j] = 0;        FOR(k,K){c.mat[i][j] += (x.mat[i][k] * y.mat[k][j]); c.mat[i][j] %= 6;}    }    return c;}Mat mult(int mat_x[maxd][maxn],int mat_y[maxn][maxd]){    Mat m;    FOR(i,K) FOR(j,K){        m.mat[i][j] = 0;        FOR(k,N) m.mat[i][j] += (mat_x[i][k] * mat_y[k][j]);    }    return m;}int main(){    while(scanf("%d%d",&N,&K)){        if(!N && !K) break;        FOR(i,N) FOR(j,K) scanf("%d",&mat_a[i][j]);        FOR(i,K) FOR(j,N) scanf("%d",&mat_b[i][j]);        Mat c = mult(mat_b,mat_a);        int M = N * N  - 1;        Mat ret;        FOR(i,K) FOR(j,K) if(i == j) ret.mat[i][j] = 1;        else ret.mat[i][j] = 0;        while(M){            if(M & 1)                ret = ret * c;            M >>= 1;            c = c * c;        }//矩阵快速幂（M次方），ret是单位矩阵         FOR(i,N) FOR(j,K){            ret_a[i][j] = 0;            FOR(k,K) ret_a[i][j] += (mat_a[i][k] * ret.mat[k][j]);        }        FOR(i,N) FOR(j,N){            ret_b[i][j] = 0;            FOR(k,K) ret_b[i][j] += (ret_a[i][k] * mat_b[k][j]);        }        int sum = 0;        FOR(i,N) FOR(j,N)            sum += (ret_b[i][j] % 6);        printf("%d\n",sum);    }    return 0;}